前言: 本书还算是比较轻薄了,相对于《什么是数学》《高观点下的初等数学》等也算是轻量级的。当然数学书的难读与否跟轻薄没有大的关系,厚的书细节文字可能更多。本文跟另外一本《数学拾遗》是比较好的大概介绍近代数学的一些内容的科普书。两本我作为第一阶段中英文对比阅读的英文数学科普书。《数学拾遗》有一些更专业化的内容,范围更广。《数学概观》更泛泛,许多多地方蜻蜓点水,但是也有一些章节是比较好的,互相都有一些好玩的东西没有cover到的。总之,花时间看了,总是有所了解,有所收获的。这种书的英文水平要求并不比更专业的教科书弱,比如《数学分析原理》等,因为后者限定在数学,顶多是词汇量有许多数学专业名词和专用表达,而前者会有一些应用的各种词汇,比如讲一个声学模型,讲概率论的例子等等,即词汇更丰富。

怎么看这本书 《概观》这本书的中文版很难看,翻译得比较早,有许多词汇不是最常见的翻译,比如:[忘记了] 首先作为数学书,你就不用想看得流畅了,除了一些语言的章节,对于没有看过数学英文书的同学来讲,慢慢看英文书也不见得会比看中文的慢,因为数学书是这样的,虽然中文每个字看懂了,然而还是不知道在讲的啥。看英文版本,然后自己翻译理解一下,觉得有困难,再对照下中文翻译版本,因此建议中英文版本结合。 这里我们提出看书的目的,我看这两本书主要是练习一下英语阅读的,顺便把用语言描绘的东西看懂。首先你准备花多少精力看此书,比如一天看一章,包括英文12章,花24天。想要在14天内全看懂是不可能的,非专业人士看懂1/3即可,主要是语言描绘的部分,比如第1章,第6章,第12章,非数学专业人士看懂也不容易,理科毕业生看个70%差不多了,因为什么代数簇希尔伯特零点等可能教材里也没cover到,80%就是最终目标,之所以说剩下20%不用看,是因为有的是一两个结论,xx数学家在1972年证明了一个xx定理,然后xx定理是讲什么的一脸xx,一辈子也搞不懂。还有的是非常难看的部分,比如看到讲压缩映射的证明,作为难得的证明部分,在某些时候,我就不想看,不如找本专业点的教科书去看,而且跟学习英文阅读也没啥关系了,教科书里的更数学化一些或更严格一些,也许也更好看一些更容易看一些。还有一个原因是对于书写的上下文及公式符号系统的熟悉程度有关。

    作为导读,我把书分为3部分,第一部分简单列举一下适应任何人观看的部分,第二部分适合一定水平的理科同学或希望把这部分搞明白并且会去查阅更专业资料的同学,第三部分就是剩下的部分,就随便了,然后再挑几个小例子简单介绍下。

第一部分: 【第一章@模型与现实,第十二章@数学的社会学/数学心理学和数学教学,第九章@级数,第六章@英雄的世纪,第二章@数论】

    第一章和第十二章也得很好,第一章的表达,思想比较好,让人感叹上世纪的人在语言能力,思考能力,表达能力上并没有那么差,现在理科同学们学了一些高阶的内容和方法,觉得在思考层次上比古代人高了一些等级,然后轻视他们,不知道你们有没有类似的感受。但是其实通过阅读你会发现,在一些通常的以自然语言的思考和表达上,他们并不比你差,虽然你可能会计算xx第二类积分,会xx换元法,觉得自己就高大上了。同样,阅读一些中文的一些古典文章时,你会发现他们都写的是极好的,包括看牛顿的原理,天体运行论,即使是翻译的红色典藏版,其语言组织表达的阅读体验,显然好过我这种高考语文水平衰减n年后的渣渣水平。

    第十二章主要讲了几个小故事,也不错。把一些第二代的数学模型,比如公理化集合论的内容下放到中学,这种尝试在当年德国就尝试过了,效果并不好。其实现在一些高年级的内容下放到低年级也是很普通的,比如小学数学里或奥数里也有集合论啥的内容。下放一些基本的东西本身没有难度,难的是一个系统的学习和理解,比如高中的同学如果提前学了什么导数,微积分初步,觉得多么高大上,其实那是没有多少难度的东西,但是受限于时间和精力,普通人很难掌握大部分,毕竟即使大学了,一个高数让无数人纠结了,毕竟计算个导数什么的只是几个规则而已,难的是分析,各种条件,上下界估计等等。

    第九章的例子也是极好,一个想起当年高中在阅读室里看一本什么无穷相关的书时看到芝诺问题,箭不动问题等一些希腊哲学家的思考,觉得这些好神奇啊,然后你就被绕进去了,被“诡辩”搞定了。这些例子我记得大一的时候上哲学课,老师们都会拿来用。在思考内容上,首先有一个数列到级数的突破,其实有级数的收敛性的突破,收敛性当年欧拉他们那群人也是瞎用的,当然结果其实是对了,因为许多级数是收敛的,当年像拉格朗日在力学书里大量使用,被柯西惊出一身冷汗,跑回家仔细验证了一把。。。文中有阿贝尔的原文,其实对于一些原文看不懂你可以去网上提问,然后有缘人会给你更多的参考资料。这里主要是有一个重排定理,就是一个级数和可以是任意的一个数,知道这些经典的结论也是好的。

    英雄的世纪主要讲的微积分的东西,是世界上讲最多的内容,一些牛b的人物,有各种各样的书和故事,因为比较好学,受众广泛。
    数论这章节相对独立,讲了素数,无穷多个的证明,费马小定理和威尔逊定理, 从小学生到大学生都能看,而且关于数论如果不搞竞赛的,基本上也不怎么学习,数学或CS的学生可能会有一些课程,比如密码学相关啥的有应用RSA等。像这种东西虽然简单,看的时候都明白,但是比如我在写这篇文章的时候,你突然问我什么是费马小定理,我可能就记不得了,就是工作记忆和长期记忆的关系,如何从硬盘中检索信息的强化,我觉得是一个困难的问题。高斯整数,里面提到,模的概念,如果说要扩展的话可以做一道简单的算法题玩一玩,比如ProjectEuler里有一道计算高斯整数的,我也只做了125道左右题。

第二部分@: 其实也不用怎么限定了,都可以看看 第三章@代数,先讲环/域/模和理想了,环和域其实是最先接触的,即使高等代数课程中也是先讲一元多项式环,域则是有理数域,普通的大学中近世代数或抽像代数课程中会讲群论,这也是大三左右的了,因为前两年主要是高等代数和数学分析为主。主要是一个集合有几个运算的区别,讲的是代数方程的解法引入,经典问题是大于5次的代数方程的代数可解性,这里面的故事相关的有当年塔塔利塔他们搞三次四次方程时的斗争桥段,当然本书没有提及,想起高中看的一本小册子讲的这个故事。理想就是一个具有好的性质的环的子集,其他元素跟理想做乘法运算,然后还是理想,当然如果要全弄明白也要花点时间了,主要是概念多和绕,比如素理想,极大理想,主理想,陪集,轮换,转换群,几个主要定理sylow定理等等。本书的章节因为不是专业书,跨度就有一些大,比如扩展到希尔伯特零点定理啥的,但是这是本书这章节精典部分,专业的教材里,比如大学本科的教材有可能就局限于群环域了,还没学完你就毕业了,然后就没有然后了,而一些高端的东西你不知道,没有播下种子,就遗憾了。这种就是一些大的picture核心定理内容的一些跨度和联系,比如微积分基本定理,到经典的stokes定理,到外微分形式的表达,数学定理的扩展扩展再扩展,bigger上去了还能进一步看指标定理啥的。

    第四章@几何与线性代数,前几章比较简单,后几章扯到希尔伯特空间了,有界,连续性,紧性,非专业的如果没学过课程确实不好看,紧性也是个坑,有各种紧,前紧,列紧。。。,这个得找本教科书研究一番,也可以先看第5章,主要是实变函数与泛函分析的书或点集拓扑的书,其实线性代数的部分,主要讲了方程理论跟线性空间中的核与像定理的对应,其次把希尔伯特空间跟线性方程组联系起来了,同时把线性函数的观点提前了,这些都是值得一看的点,虽然有的只是提到,通常的比如北大三版《高等代数》中,线性函数和双线性函数都是放在第十章了,而学线性方程组的时候,重心会放在消元法和克拉默法则,而看这种科谱书,有时会讲到一些跨内容的穿越和联系,及思考和数学发展的主线等,作为教科书的补充是极好的。这里再说一句,许多时候数学里有太多的概念,比如上面提到的紧性,不理解是什么鬼的时候是不是就看不下去了?我们可以限制在一个可以理解的东西,比如一个有界闭集,通常我们人所能直观理解的就是Rn[3维欧氏空间的n维推广],在Rn上有许多高级的概念跟以前学的一些低级概念在限制性条件下是可以等价的,又比如流形,又是个什么鬼,这个时候你就把他当成一个局部Rn的球,因为一些历史原因,记住某某数学家等,数学书里有许多奇怪的命名,比如Abel群,叫Abel群没学过的看着好高端,其实就是对于运算可以交换,所以要克服被一些名词在心里被唬住了。

     第十章@概率论,其实几个经典例子,比如伯努利序列二项分布,等等,当然其实任何教材里都有,这章感觉平平。PS: 我不喜欢概率论与数理统计。

OK,导读文章就差不多了,如果全部看完了,我就再写个《小结》。